数学基础 · 微积分与线性代数

一、微积分

微积分研究“变化”与“累积”：导数刻画瞬时变化率，积分刻画连续累积量，而微积分基本定理把两者联系起来。

1. 极限与连续

极限的定义（ε–δ）
若对任意 ε > 0，都存在 δ > 0，使得当 0 < |x − a| < δ 时，恒有 |f(x) − L| < ε，则称

lim_x→a f(x) = L

函数 f 在点 a 处连续，当且仅当 lim_x→a f(x) = f(a)。连续意味着图像在该点没有断裂。

常用极限

lim_x→0 sin x / x = 1 · lim_x→0 (1 + x)^1/x = e · lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ = e

2. 导数与微分

导数描述函数在某一点的瞬时变化率，几何上就是切线斜率：

f′(x) = lim_h→0 [f(x + h) − f(x)] / h 差商的极限

求导法则

乘积法则	(uv)′ = u′v + uv′
商法则	(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则	[f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x)
反函数	(f⁻¹)′(y) = 1 / f′(x)

基本导数

(xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹

(eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ ln a

(ln x)′ = 1/x

(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

(tan x)′ = sec² x

(arcsin x)′ = 1/√(1 − x²)

导数可用于判断单调性与极值：若 f′(x) > 0 则函数递增；f′(x) = 0 且左右变号处为极值点。二阶导数 f″ 反映凹凸性。

3. 泰勒展开

用多项式在一点附近逼近光滑函数，是数值计算与近似分析的基石：

f(x) = Σ_n=0^∞ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x − a)ⁿ

常见展开（a = 0）

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − ⋯
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − ⋯
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − ⋯ (|x| < 1)

4. 积分

不定积分是求导的逆运算；定积分表示曲线下的有向面积，可由黎曼和逼近：

∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ Σ_i=1ⁿ f(x_i*) Δx

微积分基本定理
若 F′(x) = f(x)，则

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)

它把“求面积”转化为“求原函数”，是微积分最重要的桥梁。

基本积分表

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

∫ 1/x dx = ln|x| + C

∫ eˣ dx = eˣ + C

∫ cos x dx = sin x + C

∫ sin x dx = −cos x + C

∫ 1/(1+x²) dx = arctan x + C

常用技巧

换元法：∫ f(g(x))g′(x) dx = ∫ f(u) du
分部积分：∫ u dv = uv − ∫ v du
对称性：奇函数在对称区间上积分为 0
面积与体积：旋转体体积 V = π∫ f(x)² dx

5. 多元微积分

多元函数 f(x, y, …) 的偏导数固定其他变量、只对一个变量求导。梯度把所有偏导组成向量，指向函数增长最快的方向：

∇f = (∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, …, ∂f/∂x_n)

在约束 g(x) = 0 下求极值，可用拉格朗日乘子法：构造 L = f − λg，令 ∇L = 0。

二、线性代数

线性代数研究向量空间与线性映射。矩阵是线性映射的坐标表示，特征值揭示映射在特定方向上的伸缩行为。

1. 向量与线性组合

n 维实向量是 n 个实数的有序组。给定向量 v₁, …, v_k，它们的线性组合为 c₁v₁ + ⋯ + c_kv_k。

线性相关 / 无关
若存在不全为零的系数使 c₁v₁ + ⋯ + c_kv_k = 0，则向量组线性相关；否则线性无关。

向量组所有线性组合构成的集合称为其张成空间（span）。一组线性无关且能张成该空间的向量构成基，基中向量的个数就是空间的维数。

2. 矩阵运算

m × n 矩阵 A 表示从 ℝⁿ 到 ℝ^m 的线性映射。矩阵乘法对应映射的复合：

(AB)_ij = Σ_k A_ik B_kj

运算	要点
加法	同型矩阵对应元素相加，满足交换律与结合律
乘法	一般不交换：AB ≠ BA；满足结合律与分配律
转置	(AB)ᵀ = BᵀAᵀ，(Aᵀ)ᵀ = A
逆矩阵	AA⁻¹ = A⁻¹A = I，仅方阵且行列式非零时存在

2×2 逆矩阵

A = [[a, b], [c, d]] ⟹ A⁻¹ = 1/(ad − bc) · [[d, −b], [−c, a]]

3. 行列式与可逆性

行列式是一个把方阵映为标量的函数，几何上等于线性变换对体积的缩放因子（带符号）。

det([[a, b], [c, d]]) = ad − bc

det(AB) = det(A)·det(B)
det(Aᵀ) = det(A)
A 可逆 ⟺ det(A) ≠ 0 ⟺ 列向量线性无关
交换两行，行列式变号；某行乘以 k，行列式乘以 k

4. 线性方程组与秩

方程组 Ax = b 的解的结构由系数矩阵的秩决定。对增广矩阵做初等行变换化为行阶梯形即可求解。

条件	解的情况
rank(A) < rank([A\|b])	无解（方程组不相容）
rank(A) = rank([A\|b]) = n	唯一解
rank(A) = rank([A\|b]) < n	无穷多解（含 n − rank 个自由变量）

秩等于矩阵中线性无关列（或行）的最大数目，也等于其列空间维数。秩—零化度定理：rank(A) + nullity(A) = n。

5. 特征值与对角化

特征值方程
若存在非零向量 v 使 Av = λv，则 λ 为特征值，v 为对应的特征向量。等价地，λ 是特征多项式 det(A − λI) = 0 的根。

若 n × n 矩阵有 n 个线性无关的特征向量，则可对角化：

A = P D P⁻¹, D = diag(λ₁, …, λ_n)

对角化把矩阵幂与指数运算简化为对特征值逐项运算：A^k = P D^k P⁻¹。实对称矩阵一定可以正交对角化：A = QΛQᵀ。

迹：tr(A) = Σλ_i
行列式：det(A) = Πλ_i
特征值之和等于对角线元素之和

6. 内积、正交与 SVD

欧氏内积 ⟨u, v⟩ = uᵀv，范数 ‖u‖ = √⟨u, u⟩。当 ⟨u, v⟩ = 0 时称两向量正交。

proj_v(u) = (⟨u, v⟩ / ⟨v, v⟩) · v u 在 v 方向上的正交投影

奇异值分解（SVD）对任意 m × n 矩阵都成立：

A = U Σ Vᵀ

其中 U、V 的列向量正交，Σ 为对角矩阵，对角元为非负奇异值。SVD 是主成分分析（PCA）、降维、推荐系统与伪逆计算的数学基础。

三、公式速查

微积分

(xⁿ)′ = n xⁿ⁻¹
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
∫_a^b f′ = f(b) − f(a)
∫ u dv = uv − ∫ v du

线性代数

(AB)ᵀ = BᵀAᵀ
det(AB) = det(A)det(B)
Av = λv ⟹ det(A − λI) = 0
A = PDP⁻¹
rank(A) + nullity(A) = n

本页为学习笔记性质的静态页面，内容覆盖微积分与线性代数的核心定义、定理与常用公式。建议配合教材与习题使用；理解定义背后的几何直观，比死记公式更重要。